說到常見的離散型機率分佈 (又可稱機率分配或分配)，相當重要且不易建立直覺的，非屬卜瓦松分配了。關於卜瓦松分配的內容可以參考維基百科，以及《科學人雜誌：馬蹄下的統計學》。

卜瓦松在 1837 年在進行司法錯誤審判數量的研究中，提出了這個機率分配。雖然說早在 1711 年棣美弗 (對，就是結合複數和三角函數的那個棣美弗) 就已經提出了相關敘述與證明了，但是大部分的人們還是將這份榮耀歸給卜瓦松。稍微查了一下好像也不確定為什麼，或許是因為在 1898 年 Bortkiewicz 出版的書中就直接稱它為 Poisson Distribution 了吧！卜瓦松分配描述的是在一定的時間內相互獨立的事件們發生的次數，所形成的離散機率分佈。

卜瓦松分佈的應用

卜瓦松分佈的應用相當廣泛。除了前述的司法錯判數以外，還可以拿來描述天空中單位面積的星星數量、一年軍隊中意外被馬蹄踢死的士兵數量、客服中心 (call center) 每小時收到的電話數量等等，可以說是相當貼近生活。

二項式分配的極限

卜瓦松分佈是怎麼得來的呢？有一說是將二項式分配切碎以後取極限得到的分配。具體來說是這樣的：卜瓦松有一個參數 λ 代表一段時間內事件出現的平均次數。若我們以丟 N 次非公正銅板來表示這段時間內有多少事件發生，其中銅板是正面的機率是 λ/N (這麼一來可以使期望次數等於 λ)，當 N 趨近無窮大的時候，就會推得卜瓦松分佈了！

詳細地推導可以參考： https://math.oxford.emory.edu/site/math117/connectingPoissonAndBinomial/

最後我們畫張圖來驗證一下這兩個分佈在不同的 λ 與 N 的時候有多接近吧。
今天我們偷懶一下，直接使用 scipy 的內建超方便函數，別自己算了。

from matplotlib import pyplot as plt
import numpy as np
from scipy.stats import poisson, binom
import matplotlib.font_manager as font_manager
font = font_manager.FontProperties(family=['Arial', 'LiHei Pro'],
                                   style='normal', size=12)
plt.style.use("seaborn-v0_8") # beautiful!

mu = 5.14
N = 100
NN = 1000
p = mu / N
pp = mu / NN

x = np.array(range(0, int(mu+10)))

plt.plot(x, poisson.pmf(x, mu), 'bo', ms=8, label='卜瓦松分佈')
plt.vlines(x, 0, poisson.pmf(x, mu), colors='b', lw=1, alpha=0.8)
plt.plot(x+0.1, binom.pmf(x, N, p), 'go', ms=8, label=f'二項式分佈 N={N}' )
plt.vlines(x+0.1, 0, binom.pmf(x, N, p), colors='g', lw=1, alpha=0.5)
plt.plot(x+0.2, binom.pmf(x, NN, pp), 'ro', ms=8, label=f'二項式分佈 N={NN}')
plt.vlines(x+0.2, 0, binom.pmf(x, NN, pp), colors='r', lw=1, alpha=0.5)
plt.legend(loc='upper right', prop=font)
plt.title(f'$\lambda = {mu}$')
plt.show()

這兩個函數超接近的吧！